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读书笔记:《从一到无穷大》(九)线段上点的个数

于2020-04-10发布

在前几个章节中,我们介绍了几个无穷大数,全体自然数的个数,全体非负偶数的个数、全体正奇数的个数等。我们经过比较,发现他们全都是一样多的无穷大,你也许会认为是不是所有的无穷大都是相等的呢?

其实并非如此,我们很容易找到比自然数的个数更多的无穷大,比如一条线段的上点的个数。我们假设现在有一条1米长的线段,那么我们可以用线段上的点到线段一个端点的距离来描述线段上的点。这段距离是一个实数,线段上的每一个点都可以与0到1之间的一个实数对应,不重不漏,所以1米长线段上点的个数和0到1之间的实数的个数是相等的。

于是比较正整数的个数与一个线段上点的个数的问题就可以转换为比较正整数的个数与0到1之间的实数的个数的问题了。这里我们采用数学上常用的一种方法:反证法。我们假设正整数的个数与0到1之间的实数的个数是相同的,那么就一定存在一个规则,可以让正整数与0到1之间的实数一一对应。那么我们现在构造一个实数x,x的小数点后第1位与正整数1所对应的实数的小数点后第1位不同,x的小数点后的第2为与正整数2所对应的实数的小数点后第2位不同,x的小数点后第3位与正整数3所对应的实数的小数点后第3位不同……请问这个实数x与哪个正整数对应呢?如果有人回答与正整数y相对应,那么就可以告诉他实数x的小数点后第y位与正整数y所对应的实数的小数点后第y位不同!

实际上,没有任何正整数可以与我们构造的实数x相对应,这就可以说明实数的个数是比正整数的个数要多的,同时也说明了1米长线段上点的个数比正整数的个数要多。那么,一条线段上点的数量和一个平面上点的数量谁更多一些呢,我们下一节来揭晓答案。

思考题:长1米的线段上的点的个数与长2米的线段上的点的个数哪个更多一些?

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